Resolución de triángulos rectángulos

Dados los siguientes datos resolver el triángulo

Resueltos:

1) A = 20º   c = 80 (Dado un ángulo y la hipotenusa)

Sen 20º=a/80   Cos20=b/80º   B=90º-20º   Area=(27.30*75.14)/2   P=27.30+75.14+80

a=27.30           b=75.10           B=70º         Area=1025.11u2            P=182.40

2) A = 25º   a=30 (Dado un ángulo y el cateto opuesto)

sen25º=30/c   tng25º=30/b     B=90º-25º   Area=(64.35*30)/2   P=30+70.98+64.35

c=70.98         b=64.35           B=65º          Area=964.9u2          P=265.3

3) A = 10º   b=30 (Dado un ángulo y el cateto adyacente)

tng10º=a/30   Cos10º=30/c   B=90º-10º   Area=(5.28*30)/2   P=30+5.28+30.46

a=5.28            b=30.46         B=80º         Area=79.2u2            P=65.75

4) a=2    c=2.82 (Dado 1 cateto y la hipotenusa)

sinA=2/2.82   B=90º-45.17º   b2=(2.82)2-4   Area=(2*1.48)/2   P=2.2.82.1.48

A=45.17º       B=44.8º           b=1.48             Area=1.98u2         P=6.8

5) a=36.4   b=100  (Dado 2 catetos)

sinA=36.4/100   B=90-20   c2=(36.4)2+10000   Area=(36.4*100)/2   P=36.4+100+106.41

A=20                 B=70        c=182.00                  Area=182u"               P=242.81

Funciones de ángulos de 0°,30°,45°,60°,90°

	0°	30°	45°	60°	90°
Seno	0	1/2	√2/2	√3/2	1
Coseno	1	√3/2	√2/2	1/2	0
Tangente	0	√3/2	1	√3	∞
Cotangente	∞	√3/3	1	√3/3	0
Secante	1	(2*√3)/3	√2	2	∞
Cosecante	∞	2	√2	(2*√3)/3	1

Los valores de la funciones con valor de 0° resulta de la circunferencia trigonométrica que tiene el cateto opuesto igual a 0 y el valor de la hipotenusa y del cateto adyacente igual a 1

Para sacar los valores de las funciones con valor de 30° tenemos que tomar en cuenta que el triángulo que se forma es un triángulo equilátero por lo que todos sus lados miden 1 y sus ángulos son de 60°, debemos utilizar estos datos para sacar que el cateto opuesto que mide un medio y el cateto adyacente mide raíz de tres todo sobre dos de la siguiente manera

Para sacar los valores de las funciones con valor de 45° tenemos que tomar en cuenta que el triángulo que la hipotenusa vale 1 y que el cateto adyacente y el cateto opuesto son iguales por lo que podemos proceder a sacar los valores de estos mediante Pitágoras

Para sacar los valores de las funciones con valor de 60° tenemos que tomar en cuenta las funciones recíprocas de donde

Para sacar los valores de las funciones con valor de 90° tenemos que tomar en cuenta las funciones recíprocas de donde

Signos de las Funciones

	I	II	III	IV
Sen	+	+	-	-
Cos	+	-	-	+
Tan	+	-	+	-

La función del seno en el primer y en el cuarto cuadrante siempre son positivas porque el seno de un ángulo es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa, en el primer y segundo cuadrante Y es positivo y como el cateto opuesto es la distancia de Y, entonces el seno es positivo. El seno es negativo en el tercer y cuarto cuadrante porque en estos Y es negativo

La función del coseno en el primer y en el cuarto cuadrante siempre es positiva porque el coseno de un ángulo es igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa, en el primer y en el cuarto cuadrante X es positivo y como el cateto adyacente es la distancia de X, entonces el coseno es positivo. El coseno en el segundo y en el tercer cuadrante es negativo porque en estos x es negativo

La función tangente es positiva en el primer y en tercer cuadrante porque el coseno de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente o también puede ser el seno sobre el coseno del ángulo, en el primer cuadrante el seno y el coseno son positivos, entonces la tangente también es positiva, en el tercer cuadrante el seno y el coseno son negativos por lo que la tangente resulta positiva, en cambio en los otros cuadrantes los signos son diferentes por lo que la tangente resulta negativa

Circunferencia Trigonométrica

La circunferencia trigonométrica es la circunferencia cuyo radio es 1. En es podemos observar las funciones trigonométricas expresadas en los lados de los triángulos que podemos crear dentro.

senα = PQ/OP = PQ/1 = PQ
cosα = OQ/OP = OQ/1 = OQ
tngα = ST/OT = ST/1 = ST
cotα = OS'/OT' = OS'/1 =OS'
secα = OS/OT =OS/1 =OS
cscα = S'T'/OT' = S'T'/1 = ST'

Razones trigonométricas

Razón "es la relación entre 2 cantidades expresadas en forma de cociente"

Razón trigonométrica "relaciones que existen entre los lados de un triangulo"

a/b a/c b/c
b/a c/a c/b

Funciones trigonométricas

senα = c/a cscα = a/c
cosα = b/a secα = a/b
tngα = c/b cotα = b/c

senβ = b/a cscβ = a/b
cosβ = c/a secβ = a/c
tngβ = b/c cotβ = c/b

Funciones recíprocas

senα = cosβ
cosα = senβ
tngα = cotβ
cotα = tngβ
secα = cscβ
cscα = secβ

Unidades Angulares

en la circunferencia de radio 1 tenemos que p=2π*r

p=2π
360º=2π
180º=π

Radian

es el angulo formado por 2 radios cuya longitud de arco es igual a un radio

α/360=r/2π
α/360=1/2π
α=360/2π
α=57.29º

de esta manera sabemos que 1 radian es igual a 57.29º


Transformación de grados a radianes o viceversa

Grados a radianes
180º    π
  xº       r = xº*π/180º


Radianes a grados
 π    180º
rad    xº = rad*180/π

Ejercicios de transformación de radianes a grados

Ejercicios resueltos

185^o a rad = (185^o *π)/180^o=3.23rad

3π/2rad a ^o = (3π/2 *180^o)/ π = 270^o

35^o a rad = (35^o *π)/180^o=0.61rad

1.5rad a ^o = (1.5 *180^o)/ π = 85.94^o

240^o a rad = (240^o *π)/180^o=4.19rad

0.8π rad a ^o = (0.8π *180^o)/ π = 144^o

0^o a rad = (0^o *π)/180^o=0rad

180^o a rad = (180^o *π)/180^o=3.1416rad= πrad

0.05π rad a ^o = (0.05π *180^o)/ π = 9^o

2.3rad a ^o = (2.3 *180^o)/ π = 131.78^o

3.14rad a ^o = (3.14 *180^o)/ π = 179.91^o

π /6rad a ^o =( π /6 *180^o)/ π = 30 ^o

135^o a rad = (135^o *π)/180^o=3/4 π rad

240^o a rad = (240^o *π)/180^o=4/3 π rad

410^o a rad = (410^o *π)/180^o=41/18 π rad

45^o a rad = (45^o *π)/180^o= π /4 rad

90^o a rad = (90^o *π)/180^o= π /2 rad

115^o a rad = (115^o *π)/180^o= 23/36 π rad