teorema 11
"la perpendicular es la mas corta de las rectas que pueden trazarse desde u punto situado fuera de la recta"

Demostración:

Prolónguese PO hasta P' de suerte que P'O=a PO y trácese P'Z

PZ=PZ

PZ+P'Z=2PZ

PO+P'O=2PO

2PO<2PZ

PO<PZ L.Q.Q.D.

Teorema 12

"Si 2 triángulos rectángulos son igual si la hipotenusa y uno de los catetos es respectivamente igual a la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo "

Demostración:

Colóquese ABC al lado de A'B'C' de suerte que BC caiga sobre B'C' y A yA' queden en los lado opuesto de B'C'

entonces BA caerá sobre la prolongación de de A'B'

se tiene ademas AC'=A'C'

por lo tanto AB'=A'B'

por lo tanto ABC=A'B'C' L.Q.Q.D.

Teoremas 13

"2 triángulos rectángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes a ella"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre A'B'C' de suerte que el vértice A coincida con A' y AC tome la dirección A'C'

C caerá sobre C'

AB tomará la dirección de A'B'

puesto que C coincide con C'

y los <s By B' son rectos

CB coincidirá con C'B'

por lo tanto triángulo ABC =triángulo A'B'C' L.Q.Q.D.

Teorema 14

"2 rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera no pueden encontrarse por lo tanto son paralelas"

Demostración:

si AB prolongándose se encontrara con la prolongación de CD se tendrían 2 perpendiculares bajadas de un mismo punto lo cual es imposible

por lo tanto AB nunca se corta con CD L.Q.Q.D.

Teoremas 15

"si 2 o mas rectas son paralelas toa perpendicular a una de ellas sera perpendicular a todas las demás"

Demostración:

Supóngase que por el punto P se traza MN perpendicular a XY

MN debe ser paralela a AB

CD es paralela a AB

por lo tanto CD y MN deben coincidir

ahora bien XY es perpendicular a MN

por lo tanto XY es perpendicular CD L.Q.Q.D.

Teorema 6
"si los 3 lados de un triángulos son respectivamente iguales a los lados de otro triángulo los 2 triángulos son iguales"

Demostración:

sean BA y QR los lado mayores

Voltéese PQR y colóquese sobre QR de tal manera que caiga sobre BC

el vértice A quedara debajo de P

trácese PA

ahora bien AB=QP y AC=PR

por lo tanto <A=<P 

por lo tanto ABC=QPR L.Q.Q.D.

Teorema 7

"si de un punto situado en l interior de un triángulo se trazan retas a los extremos de uno de los lados la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros 2 lado de un triángulo"

Demostración:

Prolónguese AP hasta su intersección Q con CB

CA+CQ>PA+PQ

BQ+PQ>PB

por lo tanto CA+CQ+BQ+PQ>PA+PQ+PB

reemplazando CQ+BQ por CB

CA+CB+PQ>PA+PQ+PB

por lo tanto CA+CB>PA+PB

Teorema 8

"de un punto exterior de una recta no puede bajarse mas de una perpendicular"

Demostración:

prolónguese PO hasta P', haciendo OP'=OP

Trácese P'Z

POP' es una recta

por lo tanto PZP' no es una recta (postulado 1)

<P'Zp no es de lado colineales

<POZ =<ZOP'

PO=P'O

OZ=OZ

por lo tanto el triángulo OPZ= al triángulo OP'Z

<OZP=<OZP'

por lo tanto <OZP, mitad de <P'ZP no es recto

por lo tanto PZ no es perpendicular a XY L.Q.Q.D.

Teorema 9

"Si de un punto de una perpendicular se trazan 2 rectas oblicuas cuyos pies están a distancias iguales del pie de la perpendicular esas 2 oblicuas son iguales y forman ángulos iguales"

 

Demostración:

en los triángulos AOP, BOP, <POA y <BOP son rectos

por lo tanto <POA = <POB

también se tiene AO=OB

PO=PO

por lo tanto triángulo AOP = al triángulo BOP

por lo tanto PA=PB

y <APO = <BPO L.Q.Q.D.

Teorema 10

"si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan 2 oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular la recta cuyo pie dista mas es mayor a la otra"

Demostración:

tómese OB igual a OC y trácese PB

PB=PC

en PO prolongada tómese OP'=OP y trácese P'A, P'B

entonces PA=P'A y PB=P'B

ahora bien PA+P'A>PB+P'B

por lo tanto 2PA>2PB de donde PA>PB

por lo tanto PA>PC L.Q.Q.D.

teoremas de geometría plana

Teorema 1
"2 ángulos opuestos por el vértice son iguales"

Demostración:

<AOB+<AOC=180 (suma de ángulos adyacentes es igual a  180)

<AOC+<COD=180 (suma de ángulos adyacentes es igual a  180)

<AOB+<AOC=<AOC+<COD (POSTULADO 6)

por lo tanto <AOB=<COD (Axioma 1) L.Q.Q.D.

Teorema 2

"Si los lados y en ángulo comprendido en un triángulo son son respectivamente iguales a los lados y en ángulo comprendido de otro triángulo los triángulos son iguales"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre el triángulo PQR de suerte que A caiga sobre P y AB sobre PQ 

(Postulado 5)

Entonces B caerá sobre Q (AB=PQ)

AC tomara la dirección PR (<A=<P)

C caera sobre R (AC=PR)

por lo tanto CB coincidirá sobre RP (Postulado 1)

por lo tanto triángulo ABC es congruente a triángulo PQR y por lo tanto iguales L.Q.Q.D.

Teorema 3

"2 Triángulos son iguales si tienen respectivamente un lado y los ángulos adyacentes"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre el triángulo PQR de suerte que AB caiga sobre PQ (Postulado 5)

los lados AC y BC tomaran respectivamente las direcciones de PR y QR (<A=<P; <B=<Q)

por lo tanto C caerá sobre R (2 rectas se pueden cortar en solo 1 punto)

por lo tanto los 2 triángulos son iguales L.Q.Q.D.

(2 figuras son iguales si se pueden hacer coincidir en todos sus puntos)

Teorema 4

"En todo Triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales"

Demostración:

Trácese la bisectriz de <BAB', en los triángulos AHB

AB=AB' (Hipótesis)

AH=AH (Identidad)

<BAH=<B'AH (construcción)

por lo tanto triángulo BHA= triángulo B'HA (teorema 2)

por lo tanto <B=<B' L.Q.Q.D.