teoremas de geometría plana

Teorema 1
"2 ángulos opuestos por el vértice son iguales"

Demostración:

<AOB+<AOC=180 (suma de ángulos adyacentes es igual a  180)

<AOC+<COD=180 (suma de ángulos adyacentes es igual a  180)

<AOB+<AOC=<AOC+<COD (POSTULADO 6)

por lo tanto <AOB=<COD (Axioma 1) L.Q.Q.D.

Teorema 2

"Si los lados y en ángulo comprendido en un triángulo son son respectivamente iguales a los lados y en ángulo comprendido de otro triángulo los triángulos son iguales"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre el triángulo PQR de suerte que A caiga sobre P y AB sobre PQ 

(Postulado 5)

Entonces B caerá sobre Q (AB=PQ)

AC tomara la dirección PR (<A=<P)

C caera sobre R (AC=PR)

por lo tanto CB coincidirá sobre RP (Postulado 1)

por lo tanto triángulo ABC es congruente a triángulo PQR y por lo tanto iguales L.Q.Q.D.

Teorema 3

"2 Triángulos son iguales si tienen respectivamente un lado y los ángulos adyacentes"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre el triángulo PQR de suerte que AB caiga sobre PQ (Postulado 5)

los lados AC y BC tomaran respectivamente las direcciones de PR y QR (<A=<P; <B=<Q)

por lo tanto C caerá sobre R (2 rectas se pueden cortar en solo 1 punto)

por lo tanto los 2 triángulos son iguales L.Q.Q.D.

(2 figuras son iguales si se pueden hacer coincidir en todos sus puntos)

Teorema 4

"En todo Triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales"

Demostración:

Trácese la bisectriz de <BAB', en los triángulos AHB

AB=AB' (Hipótesis)

AH=AH (Identidad)

<BAH=<B'AH (construcción)

por lo tanto triángulo BHA= triángulo B'HA (teorema 2)

por lo tanto <B=<B' L.Q.Q.D.