Teorema 6
"si los 3 lados de un triángulos son respectivamente iguales a los lados de otro triángulo los 2 triángulos son iguales"

Demostración:

sean BA y QR los lado mayores

Voltéese PQR y colóquese sobre QR de tal manera que caiga sobre BC

el vértice A quedara debajo de P

trácese PA

ahora bien AB=QP y AC=PR

por lo tanto <A=<P 

por lo tanto ABC=QPR L.Q.Q.D.

Teorema 7

"si de un punto situado en l interior de un triángulo se trazan retas a los extremos de uno de los lados la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros 2 lado de un triángulo"

Demostración:

Prolónguese AP hasta su intersección Q con CB

CA+CQ>PA+PQ

BQ+PQ>PB

por lo tanto CA+CQ+BQ+PQ>PA+PQ+PB

reemplazando CQ+BQ por CB

CA+CB+PQ>PA+PQ+PB

por lo tanto CA+CB>PA+PB

Teorema 8

"de un punto exterior de una recta no puede bajarse mas de una perpendicular"

Demostración:

prolónguese PO hasta P', haciendo OP'=OP

Trácese P'Z

POP' es una recta

por lo tanto PZP' no es una recta (postulado 1)

<P'Zp no es de lado colineales

<POZ =<ZOP'

PO=P'O

OZ=OZ

por lo tanto el triángulo OPZ= al triángulo OP'Z

<OZP=<OZP'

por lo tanto <OZP, mitad de <P'ZP no es recto

por lo tanto PZ no es perpendicular a XY L.Q.Q.D.

Teorema 9

"Si de un punto de una perpendicular se trazan 2 rectas oblicuas cuyos pies están a distancias iguales del pie de la perpendicular esas 2 oblicuas son iguales y forman ángulos iguales"

 

Demostración:

en los triángulos AOP, BOP, <POA y <BOP son rectos

por lo tanto <POA = <POB

también se tiene AO=OB

PO=PO

por lo tanto triángulo AOP = al triángulo BOP

por lo tanto PA=PB

y <APO = <BPO L.Q.Q.D.

Teorema 10

"si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan 2 oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular la recta cuyo pie dista mas es mayor a la otra"

Demostración:

tómese OB igual a OC y trácese PB

PB=PC

en PO prolongada tómese OP'=OP y trácese P'A, P'B

entonces PA=P'A y PB=P'B

ahora bien PA+P'A>PB+P'B

por lo tanto 2PA>2PB de donde PA>PB

por lo tanto PA>PC L.Q.Q.D.