Teorema 24

Teorema 23

Teorema 22

Teorema 21

Si dos lados de un triangulo son desiguales al mayor lado se opone mayor ángulo

Sea ABC un triángulo en que BC es mayor que CA                                                                                        Demostrar que:                                ∠BAC  >  ∠BAC

Demostración Hágase  CX igual a CA

Trácese AX,  el triangulo ACX es isósceles por definición de triangulo isósceles

Por lo tanto ∠CXA=∠XAC  por teorema 4                                                                                                         Ahora  ∠CXA > ∠B                                                                                                                                                    (Todo ángulo externo de un triangulo es mayor que cualquiera de los internos opuestos)

También se tiene ∠ BAC  > ∠XAC (El todo es mayor que cualquiera de sus partes)

Remplazando en esta desigualdad ∠XAC por su igual ∠CXA resulta:

∠BAC > ∠CXA

∠CXA > ∠B                                                                                                                                                   

∠BCA > ∠B  (Si una cantidad es mayor que otra y esta mayor que una tercera la primera es mayor que la tercera)                                                                                                                                                  

teorema 11
"la perpendicular es la mas corta de las rectas que pueden trazarse desde u punto situado fuera de la recta"

Demostración:

Prolónguese PO hasta P' de suerte que P'O=a PO y trácese P'Z

PZ=PZ

PZ+P'Z=2PZ

PO+P'O=2PO

2PO<2PZ

PO<PZ L.Q.Q.D.

Teorema 12

"Si 2 triángulos rectángulos son igual si la hipotenusa y uno de los catetos es respectivamente igual a la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo "

Demostración:

Colóquese ABC al lado de A'B'C' de suerte que BC caiga sobre B'C' y A yA' queden en los lado opuesto de B'C'

entonces BA caerá sobre la prolongación de de A'B'

se tiene ademas AC'=A'C'

por lo tanto AB'=A'B'

por lo tanto ABC=A'B'C' L.Q.Q.D.

Teoremas 13

"2 triángulos rectángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes a ella"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre A'B'C' de suerte que el vértice A coincida con A' y AC tome la dirección A'C'

C caerá sobre C'

AB tomará la dirección de A'B'

puesto que C coincide con C'

y los <s By B' son rectos

CB coincidirá con C'B'

por lo tanto triángulo ABC =triángulo A'B'C' L.Q.Q.D.

Teorema 14

"2 rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera no pueden encontrarse por lo tanto son paralelas"

Demostración:

si AB prolongándose se encontrara con la prolongación de CD se tendrían 2 perpendiculares bajadas de un mismo punto lo cual es imposible

por lo tanto AB nunca se corta con CD L.Q.Q.D.

Teoremas 15

"si 2 o mas rectas son paralelas toa perpendicular a una de ellas sera perpendicular a todas las demás"

Demostración:

Supóngase que por el punto P se traza MN perpendicular a XY

MN debe ser paralela a AB

CD es paralela a AB

por lo tanto CD y MN deben coincidir

ahora bien XY es perpendicular a MN

por lo tanto XY es perpendicular CD L.Q.Q.D.

Teorema 6
"si los 3 lados de un triángulos son respectivamente iguales a los lados de otro triángulo los 2 triángulos son iguales"

Demostración:

sean BA y QR los lado mayores

Voltéese PQR y colóquese sobre QR de tal manera que caiga sobre BC

el vértice A quedara debajo de P

trácese PA

ahora bien AB=QP y AC=PR

por lo tanto <A=<P 

por lo tanto ABC=QPR L.Q.Q.D.

Teorema 7

"si de un punto situado en l interior de un triángulo se trazan retas a los extremos de uno de los lados la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros 2 lado de un triángulo"

Demostración:

Prolónguese AP hasta su intersección Q con CB

CA+CQ>PA+PQ

BQ+PQ>PB

por lo tanto CA+CQ+BQ+PQ>PA+PQ+PB

reemplazando CQ+BQ por CB

CA+CB+PQ>PA+PQ+PB

por lo tanto CA+CB>PA+PB

Teorema 8

"de un punto exterior de una recta no puede bajarse mas de una perpendicular"

Demostración:

prolónguese PO hasta P', haciendo OP'=OP

Trácese P'Z

POP' es una recta

por lo tanto PZP' no es una recta (postulado 1)

<P'Zp no es de lado colineales

<POZ =<ZOP'

PO=P'O

OZ=OZ

por lo tanto el triángulo OPZ= al triángulo OP'Z

<OZP=<OZP'

por lo tanto <OZP, mitad de <P'ZP no es recto

por lo tanto PZ no es perpendicular a XY L.Q.Q.D.

Teorema 9

"Si de un punto de una perpendicular se trazan 2 rectas oblicuas cuyos pies están a distancias iguales del pie de la perpendicular esas 2 oblicuas son iguales y forman ángulos iguales"

 

Demostración:

en los triángulos AOP, BOP, <POA y <BOP son rectos

por lo tanto <POA = <POB

también se tiene AO=OB

PO=PO

por lo tanto triángulo AOP = al triángulo BOP

por lo tanto PA=PB

y <APO = <BPO L.Q.Q.D.

Teorema 10

"si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan 2 oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular la recta cuyo pie dista mas es mayor a la otra"

Demostración:

tómese OB igual a OC y trácese PB

PB=PC

en PO prolongada tómese OP'=OP y trácese P'A, P'B

entonces PA=P'A y PB=P'B

ahora bien PA+P'A>PB+P'B

por lo tanto 2PA>2PB de donde PA>PB

por lo tanto PA>PC L.Q.Q.D.

teoremas de geometría plana

Teorema 1
"2 ángulos opuestos por el vértice son iguales"

Demostración:

<AOB+<AOC=180 (suma de ángulos adyacentes es igual a  180)

<AOC+<COD=180 (suma de ángulos adyacentes es igual a  180)

<AOB+<AOC=<AOC+<COD (POSTULADO 6)

por lo tanto <AOB=<COD (Axioma 1) L.Q.Q.D.

Teorema 2

"Si los lados y en ángulo comprendido en un triángulo son son respectivamente iguales a los lados y en ángulo comprendido de otro triángulo los triángulos son iguales"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre el triángulo PQR de suerte que A caiga sobre P y AB sobre PQ 

(Postulado 5)

Entonces B caerá sobre Q (AB=PQ)

AC tomara la dirección PR (<A=<P)

C caera sobre R (AC=PR)

por lo tanto CB coincidirá sobre RP (Postulado 1)

por lo tanto triángulo ABC es congruente a triángulo PQR y por lo tanto iguales L.Q.Q.D.

Teorema 3

"2 Triángulos son iguales si tienen respectivamente un lado y los ángulos adyacentes"

Demostración:

Colóquese el triángulo ABC sobre el triángulo PQR de suerte que AB caiga sobre PQ (Postulado 5)

los lados AC y BC tomaran respectivamente las direcciones de PR y QR (<A=<P; <B=<Q)

por lo tanto C caerá sobre R (2 rectas se pueden cortar en solo 1 punto)

por lo tanto los 2 triángulos son iguales L.Q.Q.D.

(2 figuras son iguales si se pueden hacer coincidir en todos sus puntos)

Teorema 4

"En todo Triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales"

Demostración:

Trácese la bisectriz de <BAB', en los triángulos AHB

AB=AB' (Hipótesis)

AH=AH (Identidad)

<BAH=<B'AH (construcción)

por lo tanto triángulo BHA= triángulo B'HA (teorema 2)

por lo tanto <B=<B' L.Q.Q.D.